Простейшие рекурсивные алгоритмы

Задания этого пункта можно легко решить и без использования рекурсии. Данное обстоятельство связано с тем, что в заданиях рассматриваются простейшие примеры рекурсии, легко сводимые к итерационным алгоритмам. Более того, в некоторых случаях непосредственные вычисления по рекурсивным формулам оказываются весьма неэффективными (см., например, задания Recur4 и Recur6). Однако именно на подобных примерах проще всего получить первоначальные навыки разработки рекурсивных алгоритмов.

Recur1. Описать рекурсивную функцию Fact($$N$$) вещественного типа, вычисляющую значение факториала $$N!=1*2*…*N$$ ($$N>0$$ — параметр целого типа). С помощью этой функции вычислить факториалы пяти данных чисел.

Решение задачи, на языке: Паскаль

Recur2. Описать рекурсивную функцию Fact2($$N$$) вещественного типа, вычисляющую значение двойного факториала $$N!!=N*(N-2)*(N-4)*…$$ ($$N>0$$ — параметр целого типа; последний сомножитель в произведении равен $$2$$, если $$N$$ — четное число, и $$1$$, если $$N$$ — нечетное). С помощью этой функции вычислить двойные факториалы пяти данных чисел.

Решение задачи, на языке: Паскаль

Recur3. Описать рекурсивную функцию PowerN($$X$$, $$N$$) вещественного типа, находящую значение $$N$$-й степени числа $$X$$ по формулам:
$$X^0=1$$,
$$X^N=(X^{N / 2})^2$$ при четных $$N>0$$,
$$X^N=X*X^{N-1}$$ при нечетных $$N>0$$,
$$X^N=1/X^{-N}$$ при $$N<0$$
($$X \ne 0$$ — вещественное число, $$N$$ — целое; в формуле для четных $$N$$ должна использоваться операция целочисленного деления). С помощью этой функции найти значения $$X^N$$ для данного $$X$$ при пяти данных значениях $$N$$.

Решение задачи, на языке: Паскаль, Phyton3

Recur4. Описать рекурсивную функцию Fib1($$N$$) целого типа, вычисляющую $$N$$-й элемент последовательности чисел Фибоначчи ($$N$$ — целое число): $$F_1=F_2=1$$,$$F_K=F_{K-2}+F_{K-1}$$, $$K=3, 4,…$$. С помощью этой функции найти пять чисел Фибоначчи с данными номерами, и вывести эти числа вместе с количеством рекурсивных вызовов функции Fib1, потребовавшихся для их нахождения.

Решение задачи, на языке: Паскаль

Recur5. Описать рекурсивную функцию Fib2($$N$$) целого типа, вычисляющую $$N$$-й элемент последовательности чисел Фибоначчи ($$N$$ — целое число): $$F_1=F_2=1$$,$$F_K=F_{K-2}+F_{K-1}$$, $$K=3, 4,…$$. Считать, что номер $$N$$ не превосходит $$20$$. Для уменьшения количества рекурсивных вызовов по сравнению с функцией Fib1 (см. задание Recur4) создать вспомогательный массив для хранения уже вычисленных чисел Фибоначчи и обращаться к нему при выполнении функции Fib2. С помощью функции Fib2 найти пять чисел Фибоначчи с данными номерами.

Решение задачи, на языке: Паскаль

Recur6. Описать рекурсивную функцию CombiN_1($$N$$, $$K$$) целого типа, находящую $$C(N, K)$$- число сочетаний из $$N$$ элементов по $$K$$ — с помощью рекуррентного соотношения: $$C(N, 0)=C(N, N)=1$$, $$C(N, K)=C(N — 1, K)+C(N — 1, K — 1)$$ при $$0<K<N$$. Параметры функции — целые числа; $$N>0$$, $$0 \le K \le N$$. Дано число $$N$$ и пять различных значений $$K$$. Вывести числа $$C(N, K)$$вместе с количеством рекурсивных вызовов функции CombiN_1, потребовавшихся для их нахождения.

Решение задачи, на языке: Паскаль

Recur7. Описать рекурсивную функцию CombiN_2($$N$$, $$K$$) целого типа, находящую $$C(N, K)$$- число сочетаний из $$N$$ элементов по $$K$$ — с помощью рекуррентного соотношения: $$C(N, 0)=C(N, N)=1$$, $$C(N, K)=C(N — 1, K)+C(N — 1, K — 1)$$ при $$0<K<N$$. Параметры функции — целые числа; $$N>0$$, $$0 \le K \le N$$. Считать, что параметр $$N$$ не превосходит $$20$$. Для уменьшения количества рекурсивных вызовов по сравнению с функцией CombiN_1 (см. задание Recur6) описать вспомогательный двумерный массив для хранения уже вычисленных чисел $$C(N, K)$$и обращаться к нему при выполнении функции CombiN_2. С помощью функции CombiN_2 найти числа $$C(N, K)$$для данного значения $$N$$ и пяти различных значений $$K$$.

Решение задачи, на языке: Паскаль, Phyton 3

Recur8. Описать рекурсивную функцию RootK($$X$$, $$K$$, $$N$$) вещественного типа, находящую приближенное значение корня $$K$$-й степени из числа $$X$$ по формуле: $$Y_0=1$$,$$Y_{N+1}=Y_N — (Y_N — X/(Y_N)^{K-1})/K$$, где $$Y_N$$ обозначает RootK($$X$$, $$K$$, $$N$$) при фиксированных $$X$$ и $$K$$. Параметры функции: $$X$$ $$(>0)$$ — вещественное число, $$K$$ $$(>1)$$ и $$N$$ $$(>0)$$ — целые. С помощью функции RootK найти для данного числа $$X$$ приближенные значения его корня $$K$$-й степени при шести данных значениях $$N$$.

Решение задачи, на языке: Паскаль

Recur9. Описать рекурсивную функцию NOD($$A$$, $$B$$) целого типа, находящую наибольший общий делитель (НОД) двух натуральных чисел $$A$$ и $$B$$, используя алгоритм Евклида: НОД($$A$$, $$B$$)=НОД($$B$$, $$A$$ mod $$B$$), если $$B \ne 0$$;НОД($$A$$, $$0$$)=$$A$$. С помощью этой функции найти НОД($$A$$, $$B$$), НОД($$A$$, $$C$$), НОД($$A$$, $$D$$), если даны числа $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$.

Решение задачи, на языке: Паскаль

Recur10. Описать рекурсивную функцию DigitSum($$K$$) целого типа, которая находит сумму цифр целого числа $$K$$, не используя оператор цикла. С помощью этой функции найти суммы цифр для пяти данных целых чисел.

Решение задачи, на языке: Паскаль

Recur11. Описать рекурсивную функцию MaxInt($$A$$, $$N$$) целого типа, которая находит максимальный элемент целочисленного массива $$A$$ размера $$N$$ $$(1 \le N \le 10)$$, не используя оператор цикла. С помощью этой функции найти максимальные элементы массивов $$A$$, $$B$$, $$C$$ размера $$N_A$$, $$N_B$$, $$N_C$$ соответственно.

Решение задачи, на языке: Паскаль

Recur12. Описать рекурсивную функцию DigitCount($$S$$) целого типа, которая находит количество цифр в строке $$S$$, не используя оператор цикла. С помощью этой функции найти количество цифр в каждой из пяти данных строк.

Решение задачи, на языке: Паскаль

Recur13. Описать рекурсивную функцию P_Alindrom($$S$$) логического типа, возвращающую True, если строка $$S$$ является палиндромом (то есть читается одинаково слева направо и справа налево), и False в противном случае. Оператор цикла в теле функции не использовать. Вывести значения функции P_Alindrom для пяти данных строк.

Решение задачи, на языке: Паскаль, Phyton3

 

Разбор выражений

Во всех заданиях данного пункта предполагается, что исходные строки, определяющие выражения, не содержат пробелов. При выполнении заданий рекомендуется обойтись без операторов цикла.

Recur14. Вывести значение целочисленного выражения, заданного в виде строки $$S$$. Выражение определяется следующим образом:
<выражение>::= <цифра>| <выражение>+<цифра>|<выражение>- <цифра>

Решение задачи, на языке: Паскаль

Recur15. Вывести значение целочисленного выражения, заданного в виде строки $$S$$. Выражение определяется следующим образом:
<выражение>::= <терм>| <выражение>+<терм>| <выражение>- <терм>
<терм>::= <цифра>| <терм>* <цифра>

Решение задачи, на языке: Паскаль

Recur16. Вывести значение целочисленного выражения, заданного в виде строки $$S$$. Выражение определяется следующим образом:
<выражение>::= <терм>| <выражение>+<терм>| <выражение>- <терм>
<терм>::= <элемент>| <терм>* <элемент>
<элемент>::= <цифра>| (<выражение>)

Решение задачи, на языке: Паскаль

Recur17. Вывести значение целочисленного выражения, заданного в виде строки $$S$$. Выражение определяется следующим образом:
<выражение>::= <цифра>| (<выражение><знак><выражение>)
<знак>::= + | — | *

Решение задачи, на языке: Паскаль, Phyton 3

Recur18. Проверить правильность выражения, заданного в виде непустой строки $$S$$ (выражение определяется по тем же правилам, что и в задании Recur17). Если выражение составлено правильно, то вывести True, иначе вывести False.

Решение задачи, на языке: Паскаль

Recur19. Проверить правильность выражения, заданного в виде непустой строки $$S$$ (выражение определяется по тем же правилам, что и в задании Recur17). Если выражение составлено правильно, то вывести $$0$$, в противном случае вывести номер первого ошибочного (или лишнего) символа в строке S.

Решение задачи, на языке: Паскаль

Recur20. Вывести значение целочисленного выражения, заданного в виде строки $$S$$. Выражение определяется следующим образом (функция $$M$$ возвращает максимальный из своих параметров, а функция $$m$$ — минимальный):
<выражение>::= <цифра>| $$M$$(<выражение>, <выражение>) | $$m$$(<выражение>, <выражение>)

Решение задачи, на языке: Паскаль

Recur21. Вывести значение логического выражения, заданного в виде строки $$S$$. Выражение определяется следующим образом («T» — True, «F» — False):
<выражение>::= $$T$$ | $$F$$ | And(<выражение>, <выражение>) | Or(<выражение>, <выражение>)

Решение задачи, на языке: Паскаль

Recur22. Вывести значение целочисленного выражения, заданного в виде строки $$S$$. Выражение определяется следующим образом (функция $$M$$ возвращает максимальный из своих параметров, а функция $$m$$ — минимальный):
<выражение>::= <цифра>| $$M$$(<параметры>) | $$m$$(<параметры>)
<параметры>::= <выражение>| <выражение>, <параметры>

Решение задачи, на языке: Паскаль

Recur23. Вывести значение логического выражения, заданного в виде строки $$S$$. Выражение определяется следующим образом («T» — True, «F» — False):
<выражение>::= $$T$$ | $$F$$ | And(<параметры>) | Or(<параметры>)
<параметры>::= <выражение>| <выражение>, <параметры>

Решение задачи, на языке: Паскаль

Recur24. Вывести значение логического выражения, заданного в виде строки $$S$$. Выражение определяется следующим образом («T» — True, «F» — False):
<выражение>::= $$T$$ | $$F$$ | And(<параметры>) | Or(<параметры>) | Not(<выражение>)
<параметры>::= <выражение>| <выражение>, <параметры>

Решение задачи, на языке: Паскаль

 

Перебор с возвратом

Recur25. Дано дерево глубины $$N$$, каждая внутренняя вершина которого имеет $$K$$ $$(<10)$$ непосредственных потомков (нумеруются от $$1$$ до $$K$$). Корень дерева имеет номер $$0$$. Записать в текстовый файл с данным именем все возможные пути, ведущие от корня к листьям. Перебирать пути, начиная с «самого левого» и заканчивая «самым правым» (при этом первыми заменять конечные элементы пути).

Решение задачи, на языке: Паскаль

Recur26. Дано дерево глубины $$N$$, каждая внутренняя вершина которого имеет $$K$$ $$(<10)$$ непосредственных потомков (нумеруются от $$1$$ до $$K$$). Корень дерева имеет номер $$0$$. Записать в текстовый файл с данным именем все пути, ведущие от корня к листьям и удовлетворяющие следующему условию: никакие соседние элементы пути не нумеруются одной и той же цифрой. Порядок перебора путей такой же, как в задании Recur25.

Решение задачи, на языке: Паскаль

Recur27. Дано дерево глубины $$N$$ ($$N$$ — четное), каждая внутренняя вершина которого имеет $$2$$ непосредственных потомка: $$A$$ с весом $$1$$ и $$B$$ с весом $$-1$$. Корень дерева $$C$$ имеет вес $$0$$. Записать в текстовый файл с данным именем все пути от корня к листьям, удовлетворяющие следующему условию: суммарный вес элементов пути равен $$0$$. Порядок перебора путей такой же, как в задании Recur25.

Решение задачи, на языке: Паскаль

Recur28. Дано дерево глубины $$N$$ того же типа, что и в задании Recur27. Записать в текстовый файл с данным именем все пути от корня к листьям, удовлетворяющие следующему условию: суммарный вес элементов для любого начального отрезка пути неотрицателен. Порядок перебора путей такой же, как в задании Recur25.

Решение задачи, на языке: Паскаль

Recur29. Дано дерево глубины $$N$$, каждая внутренняя вершина которого имеет $$3$$ непосредственных потомка: $$A$$ с весом $$1$$, $$B$$ с весом $$0$$ и $$C$$ с весом $$-1$$. Корень дерева $$D$$ имеет вес $$0$$. Записать в текстовый файл с данным именем все пути от корня к листьям, удовлетворяющие следующим условиям: суммарный вес элементов для любого начального отрезка пути неположителен, а суммарный вес всех элементов пути равен $$0$$. Порядок перебора путей такой же, как в задании Recur25.

Решение задачи, на языке: Паскаль

Recur30. Дано дерево глубины $$N$$ того же типа, что и в задании Recur29. Записать в текстовый файл с данным именем все пути от корня к листьям, удовлетворяющие следующим условиям: никакие соседние элементы пути не обозначаются одной и той же буквой, а суммарный вес всех элементов пути равен $$0$$. Порядок перебора путей такой же, как в задании Recur25.

Решение задачи, на языке: Паскаль

 

Если вы хотите выложить решение для задач, но нет решения на нужном языке, или вообще к задаче нет решений. Можете разместить его в виде комментария к данной статье.

Другие задачи по программированию, для проверки своих знаний.